Описание работы:
Вступление.
Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками.
В знаменитых «Началах» Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Позднее было доказано, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.
Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника
центра O описанной окружности, центроида G, ортоцентра H – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783).
Рассмотрим сначала один частный случай: прямоугольный треугольник
ABC (рис.1). Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершины
C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, что
точка G делит отрезок AB в отношении k: ------- = k (рис.2).
Выразим вектор OG через векторы OA и OB. Для этого подставим в равенство AG=k * GB выражения всех векторов через OG, OA и OB: OG-OA=k(OB-
OG). Решая это уравнение относительно OG, получим:..
|
Файл: Скачать работу: Прямая Эйлера
- был проверен антивирусом Kaspersky Antivirus . Вирусов не обнаружено! 